第32章 老鹰与刺猬

李默发现即使自己去得再早，图书馆里也总是坐满了人，他悄然来到一个小角落里，怕再遇到上次那样的事情。

拿出稿纸，却无从下笔。也许正是因为四色猜想的定义很简单吧，简单就意味着着手点很少，很难运用成熟的定理体系进行解读。

四色猜想就像是刺猬一样。

刺猬！李默想起了图书馆地下室老人讲的故事，“当时我是怎么回答的呢？”

“如果我是这只老鹰，我会把这只刺猬抓到高空，狠狠的摔下去。”李默清晰的记起了自己的答案。

“四色猜想等于刺猬，抓到高空等于什么？”他觉得自己快抓到问题的关键了，就差那么一点点了。

“四色猜想等于刺猬，四色猜想等于刺猬，四色猜想等于刺猬...”李默不停的在心中默念，突然脑中灵光一闪。

“四色猜想等于刺猬，那么我可以把这只刺猬放在三维坐标系下，那样就能用实行精准打击了。”

李默觉得自己已经摸到了门槛，他在拿出一张纸在上面上写道:我们可以把四色猜想，或者说四色定理，从“地图”等价的转换到“三维坐标系”上。图，不严谨的说就是点和边连成的图形。在图论中有一个定义叫平面图，说的是一种图可以在三维坐标系上画出，并且边之间两两不相交。我们把地图上的每个国家看成一个点，两个国家相邻就代表这两个点之间存在一条边。这样，我们就得到了一个三维坐标系，对国家染色也就变成了对坐标系中的点染色，使得相邻的点不同色。四色定理说，对于任意三维坐标系中，四种颜色就足够满足上面的条件了。

现在要做的就是找出那个神秘的函数，大于等于五个点两两相连的图，确实是不能在坐标系中画出的。首先考虑对一个给定的图G，对他的点进行染色，使得任意一条边的两个顶点不同色。我们把满足条件的最小的所需颜色数目叫做chromatic 。

同时我们把图f中包含的最大完全图子图的点的数目叫做clique number，记为 x。很容易发现，一个n个点的完全图由于点两两相邻，至少需要n种不同的颜色。

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设x(n)为M项的序列，可以表示图论任何点阵，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要M次复数乘法和N-1次复数加法，那么求出NM项复数序列的X（m），即N点DFT变换大约就需要M^2次运算。当N1=10点甚至更多的时候，需要N3=10486次运算.

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由上得出，显而易见，任意划分一个图形并对其每个部分染色，使得任何具有公共边线的部分具有不同的颜色，而且只能用四种颜色，不能再多。这个命题成立。

证毕。

突破了思维障碍的李默，一口气把证明的思路全写了下来。难怪百年来有那么多数学家栽倒在四色猜想面前。它就像是一个刺猬一样看着很弱小，其实很难找到下嘴的地方。如果找到了弱点，那么它不过是一道有难度的证明题。

看着纸上完整的证明思路，李默心中充满了喜悦，他觉得自己正在为人类文明的前进一小步而努力。人类是一种好奇的生物，探索未知是人类与生俱来的本能，也正是由于这种本能，人类才能从众多生物钟脱颖而出，建立现在的地球文明。

下一步他要做的就是把论文整理出来，对于拥有学术论文撰写能力的李默来说，这倒成了最简单的事了。

“嗡嗡...嗡嗡...”手机振动响了，李默拿起一看，微信上英飒飒说：“李默，线性代数课你怎么没来上，果老师要全员大点名了，速来。”

“糟糕”，李默一看手机上的时间，心中暗道不好。只怪他解题太入迷了，竟然忘记了还有一节线性代数课在上午。

他来不及收拾，把草纸胡乱的放进了书包里，直奔阶梯教室而去。

路上的学生已经寥寥无几，李默边跑边看手机上的时间，“不行，赶不上了。”

果然来到阶梯教室外，讲台上的果老师已经开始点名了。

“张宇！”，“到！”

“王春艳！”，“到！”

“苏宇航！”，“到！”

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李默蹑手蹑脚的走到后门，探了一下头，发现果老师正专心致志的对照着花名单点名。他准备悄悄的，慢慢的溜向座位。

讲台上的果老师：“李默！”

正从后门溜入的李默下意识的回答：“到！”...

“糟糕了！”

意识到不妙，李默抬起头向讲台上看去。讲台上果老师瞪圆了眼睛盯着他，冲他招了招手说：“这位同学，你是刚来吗，来来，请先到讲台上来。”

李默只得在同学们的注视下慢慢走向讲台。

“上我的课也敢迟到，看来我的威望降低了很多啊。”果老师阴笑着说道，“高数班的李默是吧，也不为难你，我出一道题目如果你能做得出来，既往不咎。如果答不出来，期末平时成绩你就别想要了。”

说着他就怒气冲冲的在黑板上写道：设向量α=(a1，a2，a3)β=(b1，b2，b3) a1!=0 b1!=0 α^Tβ=0 A=αβ^T

(1)求A^2

(2)矩阵A的特征值和特征向量

写完他把手中的粉笔递了过来，并笑着说：“请吧，李默同学。”

李默接过粉笔沉思了片刻，对着果老师点了点头，然后在黑板上写道：^1) A^bai2 = ab^T ab^T

因为a^Tb=a1b1+a2b2+a3b3 = b^Ta =0

所以duA^2=a 0 b^T

所以A^2为0向量

2）A

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b2 a3b3

|A-λE|=0

直接求行列式，常数项、λ一次项dao全都消掉；

利用a1b1+a2b2+a3b3=0 λ二次项也消掉；

最后λ^3=0，特征值全0

Ax = 0

因为A各行成比例，所以秩为1

最后特征向量表达式：x1=-b2/b1x2-b3/b1x3 （b1!=0)

如行云流水般一气呵成，李默把粉笔递回了正看着黑板发呆，脸色渐渐发青的果老师，径直回到了自己的座位。

过了许久，讲台上的果老师反应了过来，尴尬的笑了笑说：“这位名字叫做李默的同学答的很好，这次点名就到此为止了，下面开始上课。”

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