6、给未来的市局女科长讲题？

还是那句话，给未来的财局女科长讲题，林枫是万万不会拒绝的。

但这话一出就立马遭到了陈坤的反对：

“不是，枫哥，咱们不吃饭了吗？你刚还说你要饿死了呢！”

林枫瞥了他一眼。

“讲完再吃。”

陈坤当场痛苦面具。

“枫哥，咱不带这样玩的，你说的……”

林枫根本没接他这茬，任由他在那里喋喋不休，转头看向宋清歌：

“题目你带了吗？”

“带了！”

宋清歌赶忙从手中的高数课本下拿出了数分课本，翻到了那一页，递了过来。

“你看，就是这个第五题！”

林枫微微点头，接过来扫了一眼。

正是那道他从中找到论文方向的第五题。

题干不长：

“求微分方程y'=y^(2/3)在初始条件y(0)=0下的解，并讨论其解的唯一性。若初始条件作微小扰动y(0)=ε，分析解的变化。”

说实话，这题放在大一数分作业里，确实有点阴间。

这些大一学生，包括宋清歌，都不会做，也很正常。

前半部分还可以说是微分方程入门，后半部分“微小扰动”四个字，已经有点研究的味道了。

不过，现在这道题对他来说，根本不算什么。

“你做到哪一步了？”林枫问道。

宋清歌把自己的草稿纸也递了过来。

“我分离变量得到3y^(1/3)=x+C，代入y(0)=0，得到C=0，所以y=(x/3)^3。”

“然后y=0也满足。”

“可后面的扰动，我不会处理。”

她顿了顿，声音小了些。

“而且我总觉得，解应该不止两个。”

听到这，周围几个基础稍微扎实的学生也暗暗点了点头。

他们和宋清歌的感觉一样，这也是为什么他们做了一半就放弃了。

就在这时，林枫开口了：

“其实，你的感觉是对的，这道题的解确实不止两个，准确来说，有无穷多个。”

这下，周围众人都惊呆了。

什么情况？

无穷多个？

这答案也太离谱了吧？

是真的吗？

宋清歌也愣在原地。

她原本只是隐约觉得哪里不对，可她没想到，林枫会直接给出这么一个答案。

无穷多个？

这她有点没太明白！

林枫也没有过多废话，拿起前者的草稿纸还有她的笔，便直接在上面写了起来：

y=0

“第一类，恒等于零。”

接着又写：

y=((x-a)/3)^3，x>a

y=0，x≤a

写完之后，他把笔尖点在参数a上。

“第二类，先躺在x轴上，到某个位置a之后，再沿着这条三次曲线爬起来。”

讲到这里，旁边的陈坤已经听懵了。

“等一下，枫哥，什么叫先躺着再爬起来？”

这句话问出了所有人的心声。

林枫淡淡道：“你可以理解为，这个解一开始就在装死。”

“啊？装死？”

“对，它在x≤a的时候就是y=0，导数也是0，完全满足方程。”

“到x>a的时候，它变成y=((x-a)/3)^3，你代进去，还是满足y'=y^(2/3)。”

陈坤瞪着草稿纸，下意识喊道：

“不是，这他妈不是耍无赖吗？”

这话把旁边几个同学都逗乐了。

宋清歌却没笑。

她盯着林枫写出来的分段函数，手指轻轻指着x=a的地方。

“可是这里会不会不光滑？”

“会。”

林枫接过话。

“所以关键就在这里。”

他在x=a处写下：

左导数：0

右导数：lim[x→a+]((x-a)^2)/9=0

“左边导数是0，右边导数也是0。”

“函数值也都是0。”

“所以它在拼接点处可导。”

“并且导数等于y^(2/3)=0。”

宋清歌低头看着那几行推导，呼吸都慢了半拍。

她之前卡住的地方就在这。

她想过可能存在别的解，却没想到可以用“延迟出发”的方式构造出来。

这时，周围围观的同学也越来越多，有人忍不住开口问道：“那a可以随便取？”

林枫微微点头，“只要满足初值条件就行。”

他又在纸上补了一行：

若a≥0，则y(0)=0

“所以每一个a≥0，都能给出一个满足y(0)=0的解。”

“这就是无穷多个。”

这一刻，周围彻底安静了下来。

和之前林枫在讲台上一样，这道第五题他也讲的深入浅出，不少学生都听明白了。

也正因此，所有人心中都掀起了惊涛骇浪。

谁能想到，平常在学习上毫不起眼的林枫，竟然又会做高数题又会做数分题，而且还都是这种连高考138分学霸都解决不了的难题，这真的太意外了。

“你们说，这林枫没上老王的课是不是真的去自学去了？不然，怎么这么强？”

“这很有可能啊！这种难题他都会，我要是他我也没有上课的必要啊！”

有人小声嘀咕着。

而陈坤听到老王两个字，脸都绿了。

“不是哥们，你要夸我枫哥就好好夸啊，提什么老王啊，我现在听见这俩字就心梗。”

周围又是几声嗤笑。

站在中间的宋清歌却没管这些，她马上追问道：

“那扰动呢？如果y(0)=ε，怎么分析？”

林枫把纸往自己面前拉了拉。

“这个要分情况。”

“如果ε>0，分离变量法可以直接算。”

他写下：

3y^(1/3)=x+C

y(0)=ε

C=3ε^(1/3)

所以：

y=(x/3+ε^(1/3))^3

“这个时候，初值不在0上，解会被固定住，没法继续装死。”

陈坤忍不住插嘴：

“为什么不能装死了？”

林枫瞥了他一下。

“因为它起点已经不在地上了。”

陈坤恍然大悟。

“哦~之前在地上，所以想什么时候爬都行，现在站起来了，就没法再装睡了。”

林枫有些无语。

“你理解的很形象。”

周围再次响起一阵笑声。

但笑完之后，不少人真的听明白了。

宋清歌拿着笔，在自己的本子上快速记着。

她写得很认真，写到“装死”两个字的时候，又赶紧划掉，改成“停留在零解上”。

林枫看见这一幕，差点没绷住。

这未来的女科长还挺严谨。

“那ε趋近于0的时候呢？”

宋清歌继续追问。

“这个解会趋近于y=(x/3)^3。”

林枫在纸上画了个箭头。

“也就是说，正扰动会选中那条马上离开零点的解。”

“但原方程在ε=0的时候，还有一大堆延迟离开的解。”

“所以这里的扰动很敏感。”

他停了停，又补了一句：

“这也是这道题最有意思的地方。”

“初值只要从0动一点点，结构就变了。”

“这就是我刚才说的，奇异点。”

宋清歌的表情明显一滞。

“奇异点……”

这三个字和之前的利普希茨条件、皮卡定理一样，也没有听过。

看来又是超纲知识！

“所以……这也是你自学的？”

林枫点了点头。

“还因为感觉有意思才自学的？”

林枫又点了点头。

宋清歌沉默了，直视着他，仿佛第一天认识般，很是陌生。

所以……

平常抄自己作业是为了和自己拉近距离？

她的脑海里，突然蹦出了这个想法。

但很快——

就被她甩了出去！

现在正在讲题！

现在不是胡思乱想的时候！

集中精神，再次看向眼前这道题。

“如果a可以任意取，那这些解是不是都可以看成从零解上分叉出去？”

她的声音比刚才大了一点。

“可以这么理解。”

“那扰动之后，为什么只选中了马上离开的那条？是不是因为ε大于0以后，初始点已经避开了奇异点？”

“对。”

林枫把纸翻到空白处，又补了两行。

“ε>0时，初始点在y=ε上，右端函数在这个附近比较规矩。”

“它不会再卡在y=0那条线上，所以解的结构一下子就简单了。”

宋清歌马上接上：

“也就是说，ε趋向0时，扰动解趋向的是a=0的那支，而不是所有a≥0的那些延迟解。”

“嗯。”

林枫看了她一眼。

不

愧是未来的财政局女科长，这理解能力确实可以。

他只是讲了框架，她已经能往后推了。

旁边有几个同学听到这里，忍不住拿出手机拍起了草稿纸。

陈坤有些急了。

“哎哎哎！干嘛呢？这是我枫哥现场讲义，拍照要收费的啊！”

一个男生当场怼回来：

“你收个屁，又不是你写的。”

陈坤理直气壮：

“我是他室友，精神股东懂不懂？”

“滚！”

周围笑成一片。

林枫也被这货整无语了。

“行了，别闹，我真饿了。”

“对对对，吃饭！”

陈坤赶紧把书往包里一塞，“再不去食堂，红烧肉都没了。”

可他们刚准备离开，身后便传来张洪涛的声音。

“林枫，你等一下。”

林枫脚步一滞。

不是，这老张怎么还没走？

他转过身，发现张洪涛已经从讲台上走了下来，并且还拿起了刚才那张他推导的草稿纸。

老张没有立刻开口，反而弯腰看了起来。

周围原本要走的学生，动作又慢了下来。

有热闹不看，那是对大学生活的不尊重。

陈坤拿着课本站在旁边，小声嘀咕：

“枫哥，这老张要干嘛啊？难道你刚刚讲错了？”

林枫也有点茫然。

不应该啊？

有15/100的经验值，再加上数学思维强化能力，这道题他不可能做错啊？

再说了，他论文还是从这道题里延伸出来的。

他很不理解！

包括周围的学生，也是一样。

难道林枫讲错了？

张洪涛看得很细。

先看恒等零解。

再看分段构造。

最后停在“y(0)=ε”那几行推导上。

他拿起宋清歌的笔，在旁边补了个“ε>0”的限定，又在分段解的拼接点下面点了一下。

“这里，你刚才讲过可导性了？”

宋清歌赶紧点头。

“讲过了，左导数右导数都是0。”

张洪涛嗯了一声，又看向林枫。

“你这个构造，是自己想出来的？”

林枫没有把话说死。

“昨晚查资料的时候看到过类似思路，今天结合题目整理了一下。”

“类似思路？”

张洪涛重复了一遍，没继续追问，而是把草稿纸拿起来，仔细看了半分钟。

最终放到了桌上，目光注视着林枫，缓缓开口道：

“这题不是简单的课后练习。”

“前半部分考解的非唯一性，后半部分考扰动对解结构的影响。”

“能把无穷多解构造出来，再把扰动选支讲清楚，说明你确实理解了。”

说到这，他顿了顿。

“老王这道题，出得有点狠。”

“但——”

“你！林枫！你也不一般啊！”

“能把这道题写出来，并且还超前自学奇异解、利普希茨条件，你真的很不错！”

说到这，他又顿了下。

“对了，听说老王罚你写论文了？写不出来就要挂科？”

林枫微微叹了口气，很不情愿地点了点头。

“怎么？需不需要我帮你给他求求情？”

这话一出，林枫先是一怔，接着立马激动起来。

求情？

求情好啊！

虽然他找老王求情没用，但不代表老张找老王就没用！

要是能取消惩罚，他就不用写论文了，也就有时间备考考公了！

“真的吗？张教授？”

因为激动，称呼都变了。

“呵呵！骗你的，别想了，老王这个人我很熟，他一个连院长都敢当面阴阳当面怼的，他决定的事情，别说是我，院长来了都没用。”

张洪涛挑了挑眉，一脸的笑容。

而这也令林枫绷不住了。

不是……

办不了你说集贸啊！

开玩笑很有意思吗？

他很难受。

他很无语。

“所以啊，要么写出来论文，要么就要挂科，自求多福吧，林枫同学。”

说完，张洪涛拍了拍林枫的肩膀，转身就要离开，但刚走两步就又停了下来：

“对了，我提醒你一句，老王看论文很挑的，你拿一篇拼凑的东西过去，他不会因为你是大一就放水的，甚至还会非常生气。”

“可能补考都不会让你过得？”

“所以……”

“林枫同学，好好写吧！”